カオスのはなし

カオスとはなにか

複雑な系

物理学者は長い間、ものごとを単純化して理解しようと努めてきた。どんなにこみいった現象でも、必ず単純な動作原理があるはずだ。その動作原理さえつかんでしまえば、どんな現象でも予測できる。たとえば、万有引力の法則を基礎として、数世紀後の日食月食を予測することができる。こうして、美しい物理法則の体系ができあがっていった。しかし、どうにもならない乱雑な現象が残ってしまった。こうした、物理学の法則からはみだした現象は、「ノイズ」とか「ゆらぎ」と呼ばれて、物理学の世界では疎んじられてきた。
20世紀後半になって、比較的単純な（しかし、これまでの物理法則とは全く違った）動作原理で、乱雑な振る舞いが作り出せることが見出された。カオスである。カオスの発見をきっかけにして、長い間遠ざけられてきた、複雑で乱れた系が、ふたたび物理学の重要なテーマになった。いまやカオス系を含む複雑系の科学は21世紀の科学の重要な一分野になっている。

複雑系の例

生命現象：生命現象の基本過程は、化学反応（ATPの分解や酵素反応）や体内のイオンの運動（たとえば神経活動）であろう。化学反応やイオンの運動そのものは、現代の化学や物理学を用いれば、充分に理解可能である。しかし、生物はファジーである。気まぐれである。なぜか。たとえば、生物を支配する脳は非常に多くのニューロンがネットワークを組んで、互いに連携して動作している。個々のニューロンの働き自体は比較的良くわかっている。しかしニューロンネットワーク全体の振る舞いを理解することは簡単ではない。生命現象の理解の難しさはここにある。このように多くの系が連携していることが複雑系の一つの特徴である。
流体の運動：液体や気体の流れは、流体の方程式であるNavier-Stokes方程式で完全に記述できる。しかし、この方程式は、一般的には解がない。つまり、ルールはあっても、「いつどこでなにが起こるか」を書き下すことができない（コンピューターを使って数値計算することならできるが）。こんな奇妙なことになったのは、この方程式が「非線形」だからである。流体にかぎらず、非線形の方程式に従う運動は、多様で複雑になりうる。お天気も雲の流れも流体の運動に他ならないから、乱れていて当然と言える。
株価の変動：株価は大勢の人の売買によって決まる。そこには無数の「判断」が関与する。このように連携しない無数の要因で決まるような変動は複雑である。この変動には、単純なルールを当てはめることはできそうもない。ただし、最近コンピューターで株の売買を決定する人が増えてきて、様相が変わってきた。似たようなプログラムに従って大勢の人が株の売買をすると、結果的には「単純な」ルールに従って株価が変動することになる。近年の株の暴落にはこのようなルールの単純化によって起こったとされているものもある。

ラプラスとポアンカレ

こうした乱雑な現象を科学者はどう考えてきたのか。現在のカオスの概念の基礎を築いた２人の科学者の考えを紹介しよう。
１８世紀のフランスの数学者ラプラスは、乱雑な現象について、このように考えた：「大自然の現在の状態は、間違いなく過去の状態によって決定される。したがって、ある時刻での宇宙の構成要素の相互関係をすべて知りえたとすれば、未来過去のどの時点の宇宙の状態もすべてわかってしまうだろう。天体の運動を支配する法則は万有引力の法則であるから、天体の質量や距離がわかれば、それらの運動は完璧に追跡できる。ところが、世の中には、天体ほど分析が完全にできていない現象もあり、観測が不完全にしかできないものもある。したがって、われわれは確率論を導入せざるをえないのである。」つまり、ラプラスの見解は、乱雑さは人間の知識の不完全さによるというものであり、自然界そのものは原理的には完全に予言可能であるというものだった。しかし、このラプラスの決定論は、２０世紀になって不確定性原理が発見されて瓦解してしまった。量子力学に支配されるようなミクロな世界では、たとえば原子核のまわりを回る電子の運動などは、正確に情報を集めることも、未来を予測することも不可能である。

一方、２０世紀初頭になって、やはりフランスの数学者ポアンカレは、不確定性原理とは関係なく、比較的単純な物理法則に支配される巨視的な系においても、偶発的な挙動が生まれることに気づいた。彼は次のように考えた。：「小さすぎて注意を引かないほどの要因が、見逃しようの無いほどの大きな影響を招く。そして偶発的効果だと言われる。我々は初期状態というものを完全には知りえない。初期状態の微小な差が、場合によっては、後の系の様相を大きく変えてしまう。このような場合に予測は不可能となり、偶発的現象が起きる。」これは、ラプラスの見解を一歩進めて、カオスの概念の前駆となった。

カオスとは・・

現在では、このポアンカレの概念を少し整理して、「決定論的な規則によって引き起こされる乱雑な振る舞いで、初期状態の微小な差がどんどん増大するもの」をカオスという。先にあげた複雑な系の例のうち、生命現象の大部分と流体運動がカオスにあたる。株価の変動は、本来は（みんなが似たような動作原理のソフトウエアに従って株を買うかどうかを決めるようなことがなければ）決定論的ではないからカオスではない。

ランダムな列と決定論的な列

ランダムな列―――確率・平均と分布・放射性元素の崩壊
コインを投げて表が出たら０、裏が出たら１としよう。これを１０回繰り返して、たとえば次のような列を作ろう：

　「００１０１１０１０１」

このような列をランダム列と言う。11回目がどうなるかは、これまでの10回の結果には全くよらない。このような現象は確率で表現される。この例では、次の回が１になる確率は、いつでも0．5である。また、この列の特徴は、平均値や分布を使って表すことができる。典型的なランダム現象の物理的な例に放射性元素の崩壊がある。
決定論的な列―――ふつうは規則的・自由落下や振り子の振動
つぎに振り子の振動を考えよう。振り子の運動は、現在のおもりの位置と速度がわかれば、未来も過去もすべてわかってしまう。このように、現在の状態で次の運動の様子が決まってしまうことを「決定論的」という。

現在を t=0 としよう。現在の測定値は x₀ である。「決定論的である」とは、式で書くと、

x_t₊₁= f(x_t)

と書けることである。このfは、現在の測定値から次の測定値を決定するルールを表す。

決定論のルール―――方程式と写像

ランダムな系では確率が重要だった。決定論的な系で重要なのは、現在の測定値から次の測定値を決定するルール、fである。連続的な表現をすれば、このfは微分方程式に他ならない。多くの物理現象において微分方程式を重用するのはこのためである。一方、離散的な表現ではfを「写像」という。教科書に出てきた物理現象の多くは（全部は）、微分方程式で現されるような決定論的なルールに従い、その結果がふりこの運動のように規則的になるものだった。カオスになるような物理現象の場合には、この微分方程式または写像に特別なしくみがあるはずだ。それは何か？

平衡、安定と不安定

写像fがf(x_t) = x_t を満たすならば、値 x は変化しない。このような状態を「平衡」という。たとえば、ふりこが真下に静止した状態である。この状態は放って置けばもちろん変化しないが、振り子を多少どちらかに動かしても、やはりもとに戻ってしまう。このような平衡を安定な平衡という。ふりこにはもう一つ平衡状態がある。真上に静止している状態である。こちらはちょっと動かすと左右どちらかに動いて行ってしまう。これを不安定な平衡という。

でたらめさを判定するには？

ある列が「乱雑」かどうかを判定するのは難しい。あらゆる規則性が「ない」ことを見極めないといけないからだ。全ての規則性をしらみつぶしに調べることなど出来るわけがない。乱雑かどうかをもっとも簡単に判断する材料としてパワースペクトルがある。規則性を周期性と考えれば、何らかの規則性があるなら、スペクトルに突出したフーリエ成分がなければならない。そのような顕著な成分をもたない、つまり連続スペクトルを持つ現象は乱雑と考えてよい。カオスを調べるためには、周期性を調べることになる。

カオスをつくるルールとカオスの顔

ゾウムシの増殖（ロバート・メイの研究）

マメゾウムシは、マメ類を食害する困った虫である。気候が安定していて、天敵がいなくて、農薬もまかれないとしよう。この虫は、食物であるマメをせっせと食べて卵を産み死んでしまう。やがて卵が孵化して、ゾウムシの子供が生まれる。この子供が成長して成虫になったとき、親の世代のp倍になったとしよう。このpを増殖率という。この増殖率は、マメの量が充分にあれば一定と考えて良い。n世代目のゾウムシの個体数を U_n と書くと、n+1 世代目の個体数 U_n₊₁ は、
　　U_n₊₁ = p U_n　                                                                  （１）

であらわされる。普通、増殖率は１より大きい。すると、（１）式では個体数が無限に増大してしまう。人口爆発である。実際の生物では、ふつう個体数の増加とともに増殖率が小さくなり、人口爆発は生じない。餌が有限だからである。ゾウムシも増えすぎるとマメが足りなくなり、増殖率が減ってくる。このことを、

　　p = p₀ -hU_n                                                                                  （２）

で表現しよう。p₀ は定数である。このとき（１）式は

　　U_n₊₁ = p₀ U_n -h U_n²                                                                       （３）

となる。ここで、すべてのnについて U_n = (p₀/h)X_n で置き換えると、（３）式は簡単に、

　　X_n₊₁ = r X_n (1-X_n)                                                            　　　　（４）
となる(r=p₀とした)。この式は、X_n₊₁=f(X_n)の形をしているから「写像」である。この写像をロジスティック写像という。

ロジスティック写像の性質

ロバート・メイという数理生態学者は、1973年、このロジスティック写像に従う生物個体数の変化のしかたが、増殖率によってどう違うかを調べた。増殖率の値をさまざまに変えて、X_nがどのように振舞うかをコンピューターを使って数値的に実験してみたのである。その概要は簡単に電卓でも計算することができる。メイが試みた数値実験の結果は驚くべきものだった。

１周期、２周期、４周期、そしてカオス：周期倍分岐

まず、r<1のときは、増殖率が小さいので、個体数は次第に減ってゆく。図１はr=0.7のときの個体数の変化の様子である。約１０世代も経過すると、ほとんど絶滅に近い状態になってしまう。

rが１よりも大きいと、個体数は増加する。r=2.0の場合を図２に示す。
図１　　　図２

個体数が増加して一定値に向かうのがわかる。r=2.5の場合（図３）は、振動しながら一定値に向かう。もっとrを増やすとどうなるだろうか。

図３　　　図４
r=3.2の場合を図４に示す。もはや一定値には落ち着かない。このように大小を繰り返す振動状態を「２周期」という。

図５　　図６
図５はr=3.46の場合である。こんどは、４回を周期とした振動が現れた。これを「４周期」という。こうして、rの値を増やしてゆくと、8周期、１６周期・・・、と長い周期性が次々に現れてくる。そして、r=3.57･･･を超えると、もはや周期性が完全になくなって、乱雑なパターンが現れる（図６）。これがカオスである。このように、周期が倍、倍と増えていってカオスに至るルートのことを、周期倍化分岐という。メイは、比較的単純な個体数の増殖のモデル式から、複雑ででたらめに見える変動が出現することを初めて見出した。

自己相似性　フラクタル
図７は、横軸にrを、縦軸にX_nをとって、周期倍化分岐の様子をあらわしたものである。このような図を「分岐図」という。
図７

分岐図を良く見ると、いったんカオスになってから、再び周期的な状態が現れることがわかる。この周期状態のことを「窓」という。窓の中を拡大してみよう。窓の中の周期状態がふたたび倍、倍と分岐していることがわかる。この様子は分岐図全体の様子とそっくりである。この図ではよくわからないが、実はカオスの状態の中には、無数に「窓」があり、その中にはまたカオス状態が、その中にまた「窓」があり、そこにはカオスが・・・というぐあいに、無限の繰り返しが起こっている。このように、「全体」と「部分」がそっくりであり、その構造が繰り返し現れている（つまり「入れ子構造」になっている）のは、カオス系の顕著な性質の一つである。これを「自己相似性」または「フラクタル」という。
初期状態依存性

図８は、ロジスティック写像によってつくられたカオスの例である。実線は初期値0.4から出発したもの、点線は0.40001から出発したものである。
図８
初期値が少ししか違わないから、２つの列はしばらくのあいだはほとんど一致している。しかし、差は次第に広がってゆき、あるところからは、２つの列に似たところはなくなってしまう。初期値のわずかな違いがどんどん増大していった結果である。このように、現在の僅かな差が、将来の大きな違いに発展することがカオス系の大きな特徴である。

お天気は流体現象である。流体の運動は本質的にカオスである。天気予報はあたらない。（ただし、短期の予報はそこそこあたる。）

今ここで、わずかに空気を動かしたとしよう。その僅かな動きがあるかないかは、将来の地球の天気を左右する。もしかしたら、あなたがくしゃみをしたせいで、どこかで竜巻が起こるかもしれない？？？　いま、そこにいるハエをたたくかたたかないかで、この夏のハエの発生数が違ってくる（たたいたせいで、かえって大発生してしまう可能性もある。カオスなんだから。）

水滴落下のカオス